Чому дорівнює пружність простору-часу?

Чи можна розглядати простір-час як упруге середовище, яке деформується під дією гравітації? А якщо можна, як визначити його пружність властивості, зокрема модуль Юнга, що відповідає за енергію пружних деформацій? Американський фізик-теоретик Адріан Меліссінос (Adrian Melissinos) показав, як це можна зробити, і вирахував верхню межу для модуля Юнга нашого простору-часу, покладаючись на дані недавніх реєстрацій гравітаційних хвиль. Виявилося, що вона приблизно в 10²⁰ разів менше, ніж пружність заліза. У цьому блозі ми спробуємо розібратися, що насправді порахував учений.

Перш ніж говорити про пружність простору, розберемося з пружністю в звичайному, загальнофізичному розумінні. Візьміть в руки тонкий гумовий джгут (гумку) і розтягніть її в різні боки - ви відчуєте, як з боку гумки починає діяти сила, яка прагне стиснути її назад. Ця сила називається. Тепер відпустіть гумку - якщо ви розтягували її не дуже сильно, вона знову повернеться в колишній стан, а її довжина і об'єм приймуть ті ж значення, що і до деформації. Такі деформації називають. Якщо ж ви розтягували її сильніше, ніж слід було, після зняття навантаження гумка відновить свої форми не повністю і залишиться частково деформованою. Такі деформації називають.

У разі упругих деформацій сила і величина подовження виявляються пов'язані законом Гука, відкритим наприкінці XVII століття англійським фізиком Робертом Гуком. У найпростішому випадку поздовжніх деформацій (тобто таких, що відбуваються в одному напрямку, як у випадку з гумкою) цей закон стверджує, що напруга матеріалу прямо пропорційна величині відносного зміщення: σ = ∙ε. Тут - це нормальна напруга в поперечному перерізі (тиск/), - відносна деформація ^/, а - коефіцієнт пропорційності, який називається «Юнґа». У разі гумки довжиною і площею поперечного перерізу цей закон можна переписати і привести до більш звичної форми, якою вчать на шкільних уроках фізики: = В тому місці, де коефіцієнт упругості =/. Саме в такому вигляді закон був відкритий Робертом Гуком. Тим не менш, форма запису з використанням модуля Юнга більш краща, оскільки дозволяє узагальнити закон на випадок тіл довільної форми.

Зрозуміло, звести всі деформації тіла до одних тільки поздовжніх не можна. Насправді, при розтягненні гумки змінюється не тільки її довжина, але і товщина, хоча помітити цю зміну набагато складніше. Тому в самому загальному випадку закон Гука треба записувати в тензорному вигляді, замінюючи напругу на тензор напругij, відносну деформацію порожніх деформацій, а модуль Юнга на симетричний тензор упругих деформацій i^jkl. Тензор рангу - це, грубо кажучи, матриця, яка містить 3 компоненти (у тривимірному просторі) і перетворюється певним чином при перетворенні координат. Така форма дозволяє описати не тільки поздовжні деформації, а й поперечні (зрушення, вигини і кручення).

Нарешті, завдяки лінійності закону Гука потенційна енергія, запасена в обсязі деформованого матеріалу, пропорційна квадрату деформації. Насправді, робота, яку потрібно витратити для розтягнення гумки на нескінченно малу відстань d, дорівнює твору сили на зміщення: = ^ d = ^ d/2 = ^ d/2, де - об "єм гумки, а = - величина зміщення. Отже, при кінцевому зміщенні в одиниці об'єму матеріалу запасається енергія = ^ ⁽^/) 2 = ^ 2. Звичайно, при врахуванні поперечних деформацій цей закон трохи ускладнюється, однак ми не будемо вдаватися в такі подробиці.

Однак причому тут простір-час? Справа в тому, що під дією гравітації - наприклад, в околицях масивної зірки або при проходженні гравітаційних хвиль - звичайний, плоский простір-час теж трохи розтягується і стискається, ніби гумка. Як правило, величина цього розтягнення дуже мала, проте її все-таки можна відчути, якщо дуже точно виміряти відстань між двома заданими точками, яка в звичайному просторі-часі залишалася б незмінною. Уявімо, що ми вибудували безліч масивних кульок уздовж ідеально рівного кола, а потім направили на нього h + або _h  -поляризовану гравітаційну хвилю. Під дією змінної сили тяжкості кульки будуть трохи зміщуватися, і окружність деформується в еліпс - так, немов сам простір-час розтягується і стискається в перпендикулярних напрямках. Помітити такі зміщення дуже складно, проте останнім часом вчені все-таки навчилися їх вимірювати за допомогою точних інтерферометрів, що дозволило їм зареєструвати гравітаційні хвилі. Детальніше про ці вимірювання можна прочитати в нашому матеріалі «Тонше протона».

Важливо, що гравітаційні хвилі переносять певну енергію, об'ємна щільність якої пропорційна квадрату їх частоти і - найважливіше - квадрату відносного зміщення кульок у нашому подумковому експерименті. Це дозволяє провести аналогію між гравітаційними і пружними деформаціями і знайти «модуль пружності» нашого простору-часу. Порівнюючи вираз для енергії гравітаційної хвилі (який наводиться в стандартних підручниках з теорії поля, наприклад, у другому томі Ландау-Ліфшиця) і вираз для енергії упругих деформацій, то можна отримати, що = ^ 22/4. Тут - це швидкість світла, - гравітаційна постійна Ньютона, а - частота гравітаційних хвиль. Простіше кажучи, величина ефективного модуля Юнга простору-часу тим більше, чим більше частота гравітаційної хвилі, яка через нього поширюється.

Тим не менш, не всі вчені згодні з такою наївною інтерпретацією деформацій простору-часу, оскільки в ній передбачається, що він володіє механічними властивостями. Зокрема, Адріан Меліссінос також з нею не згоден і пропонує у своїй роботі альтернативний висновок, заснований на перших принципах. Для цього він розглядає поширення поляризованої гравітаційної хвилі в однорідному середовищі, заповненої масивною рідиною, виписує рівняння руху для малого обсягу речовини і отримує силу зміщення, яка діє на нього з боку хвилі. У результаті він отримує схожий вираз для модуля Юнга, який квадратично залежить від частоти хвилі: = ( /2) (2.200⁾ 2, де  - щільність енергії середовища, а - поперечні розміри розглянутого обсягу. Тим не менш, вчений зазначає, що подібні міркування застосовні тільки тоді, коли довжина гравітаційних хвиль багато більше поперечних розмірів обсягу - в іншому випадку говорити про якусь конкретну силу, яка на нього діє, просто некоректно. Це означає, що в дійсності модуль Юнга простору-часу не залежить від частоти гравітаційної хвилі і багато менше щільності речовини, в якій вона поширюється: ≪ ρ. При щільності космічного простору  м  1^{0 ‑} 29 грам на сантиметр кубічний це дає обмеження близько $10 _ 9 паскаль, що ^в 1014 разів менше модуля пружності желе і ^в 1020 разів менше модуля пружності заліза. При цьому точне значення коефіцієнта вивести теоретично з перших принципів не можна.

З іншого боку, коефіцієнт пружності можна оцінити по загасанню гравітаційних хвиль, які доходять до нас від далеких об'єктів. Грубо кажучи, хвилі втрачають енергію, коли розгойдують частинки середовища, оскільки зворотним випромінюванням хвиль під час таких коливань можна знехтувати. З огляду на результати вимірювань енергії гравітаційних хвиль групами LIGO/Virgo, Меліссінос вирахував таке обмеження і отримав, що < (²²/), де коефіцієнт ауд 10 ⁻ 17. Це суперечить стандартному значенню, отриманому з порівняння енергії хвиль з енергією упругих коливань, оскільки в ньому виходить ауд 1, проте узгоджується з новим обмеженням, виведеним теоретиком.

Варто зазначити, що цей результат слід сприймати як цікаву аналогію, яка в майбутньому дозволить краще розібратися з властивостями простору-часу. Це ні в якому разі не означає, що простір-час заповнений упругим середовищем, по якому поширюються гравітаційні хвилі. Насправді гравітаційні хвилі являють собою коливання метрики і випливають з рівнянь загальної теорії відносності, і їх існування виражається не тільки в спотворенні відстаней (тобто в зміщенні кульок нашому подумковому експерименті), але і в викривленні променів світла і уповільненні часу, які в рамках цієї аналогії пояснити не можна.